Rectas y planos en el espacio. Posición relativa y distancias

**(a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano $\pi_1$ que es paralelo a la recta $s$ y que contiene a la recta $r$, dada por $x - 1 = -y + 2 = z - 3$.** Primero, identificamos un punto y el vector director de la recta $r$. La ecuación viene dada en forma continua: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: $P_r = (1, 2, 3)$ - El vector director de $r$: $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

La recta $s$ está dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_s$ se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (1, 0, -1), \quad \vec{n}_2 = (0, 2, 1)$$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_s = [0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2]\vec{i} - [1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0]\vec{j} + [1 \cdot 2 - 0 \cdot 0]\vec{k}$$ $$\vec{v}_s = 2\vec{i} - 1\vec{j} + 2\vec{k} = (2, -1, 2)$$ $$\boxed{\vec{v}_s = (2, -1, 2)}$$

El plano $\pi_1$ debe contener a la recta $r$ (por tanto contiene al punto $P_r$ y al vector $\vec{v}_r$) y ser paralelo a $s$ (por tanto contiene al vector $\vec{v}_s$). Utilizamos el determinante con un punto genérico $X(x, y, z)$: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x - 1)(-2 + 1) - (y - 2)(2 - 2) + (z - 3)(-1 + 2) = 0$$ $$-(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0$$ $$-x + 1 + z - 3 = 0 \implies -x + z - 2 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener la forma estándar: $$\boxed{x - z + 2 = 0}$$

**(b) [1’25 puntos] Estudia la posición relativa de la recta $s$ y el plano $\pi_2$, de ecuación $x + y = 3$, y deduce la distancia entre ambos.** Analizamos el vector director de $s$, $\vec{v}_s = (2, -1, 2)$, y el vector normal del plano $\pi_2$, $\vec{n}_{\pi_2} = (1, 1, 0)$. Comprobamos si son perpendiculares calculando su producto escalar: $$\vec{v}_s \cdot \vec{n}_{\pi_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (2)(0) = 2 - 1 + 0 = 1$$ Como $\vec{v}_s \cdot \vec{n}_{\pi_2} \neq 0$, el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano. Esto significa que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. Por lo tanto, la recta $s$ y el plano $\pi_2$ son **secantes** (se cortan en un punto). 💡 **Tip:** Si el producto escalar $\vec{v} \cdot \vec{n}$ es $0$, la recta es paralela al plano o está contenida. Si es distinto de $0$, la recta corta al plano.

Puesto que hemos determinado que la recta $s$ y el plano $\pi_2$ son secantes, existe un punto de intersección común a ambos. La distancia entre dos conjuntos de puntos que tienen al menos un punto en común es siempre cero. $$\text{Distancia}(s, \pi_2) = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La recta y el plano son secantes y la distancia es } 0}$$