Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**(a) [1’5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & a-1 \\ 2 & 1 & a & a \\ 1 & a & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$). 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezaremos calculando el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 1) + (1\cdot a\cdot 1) + (1\cdot 2\cdot a) - (1\cdot 1\cdot 1) - (a\cdot a\cdot 1) - (1\cdot 2\cdot 1)$$ $$|A| = 1 + a + 2a - 1 - a^2 - 2 = -a^2 + 3a - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a^2 - 3a + 2 = 0$$ Utilizamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos los valores: $$a_1 = 2, \quad a_2 = 1$$ $$\boxed{|A| = 0 \iff a = 1 \text{ o } a = 2}$$

Si $a \neq 1$ y $a \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que la matriz ampliada contiene a $A$ y no puede superar el número de filas). - El número de incógnitas es $n = 3$. Por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, por lo que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado (Caso 1):** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, 2: \text{SCD (Solución única)}} $$

Si $a = 1$, la matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ En la matriz $A$, las filas 1 y 3 son iguales ($F_1 = F_3$), por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$, por tanto $\text{rg}(A) = 2$. Ahora estudiamos $\text{rg}(A^*)$ analizando un determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1 + 0) - (0 + 1 + 2) = 2 - 3 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$. ✅ **Resultado (Caso 2):** $$\boxed{\text{Si } a = 1: \text{Sistema Incompatible (Sin solución)}} $$

Si $a = 2$, la matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ En la matriz $A$, $\text{rg}(A) < 3$ porque $|A| = 0$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Observamos las columnas de $A^*$: $C_1 = C_3 = C_4$. Cualquier determinante de orden 3 que tomemos en $A^*$ será 0 (al tener columnas repetidas). Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 2$. Comparando: $\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A^*) < n=3$. ✅ **Resultado (Caso 3):** $$\boxed{\text{Si } a = 2: \text{Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones)}} $$

**(b) [1 punto] Resuélvelo en el caso $a = 2$.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $a=2$ el sistema es **Compatible Indeterminado** con rango 2. Podemos eliminar una ecuación redundante (la tercera, por ejemplo) y pasar una variable al otro lado como parámetro. El sistema reducido es: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2 \end{cases}$$ Sea $z = \lambda$ (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): $$\begin{cases} x + y = 1 - \lambda \\ 2x + y = 2 - 2\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda ($F_2 - F_1$): $$(2x + y) - (x + y) = (2 - 2\lambda) - (1 - \lambda)$$ $$x = 1 - \lambda$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$(1 - \lambda) + y = 1 - \lambda \implies y = 0$$ 💡 **Tip:** En sistemas con infinitas soluciones, siempre expresa el resultado en función de uno o varios parámetros reales (como $\lambda$ o $k$). ✅ **Resultado (a=2):** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \lambda, 0, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$