Función con valor absoluto: gráfica e integral definida

**(a) [1 punto] Esboza la gráfica de $g$.** Para poder representar la función y trabajar con ella, primero debemos eliminar el valor absoluto. Sabemos que: $$|x^2 - 1| = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x^2 - 1 \ge 0 \\ -(x^2 - 1) & \text{si } x^2 - 1 \lt 0 \end{cases}$$ La expresión $x^2 - 1 = 0$ tiene soluciones en $x = 1$ y $x = -1$. Estudiando el signo de este binomio, obtenemos: - Si $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$, entonces $x^2 - 1 \ge 0$. - Si $x \in (-1, 1)$, entonces $x^2 - 1 \lt 0$. Sustituyendo en $g(x) = 2x + |x^2 - 1|$, la función queda definida como: $$g(x) = \begin{cases} 2x + x^2 - 1 & \text{si } x \le -1, \\ 2x - (x^2 - 1) & \text{si } -1 \lt x \lt 1, \\ 2x + x^2 - 1 & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$$ Simplificando las expresiones: $$\boxed{g(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 1 & \text{si } x \le -1, \\ -x^2 + 2x + 1 & \text{si } -1 \lt x \lt 1, \\ x^2 + 2x - 1 & \text{si } x \ge 1. \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para quitar un valor absoluto $|A|$, debes considerar los casos $A \ge 0$ y $A \lt 0$.

Analizamos los elementos clave de cada parábola para realizar el esbozo: 1. **Rama 1 ($x \le -1$) y Rama 3 ($x \ge 1$):** $y = x^2 + 2x - 1$. - Es una parábola convexa (forma de U). - El vértice está en $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1$. El punto es $(-1, -2)$. - En $x = 1$, la función vale $g(1) = 1^2 + 2(1) - 1 = 2$. El punto es $(1, 2)$. 2. **Rama 2 ($-1 \lt x \lt 1$):** $y = -x^2 + 2x + 1$. - Es una parábola cóncava (forma de $\cap$). - El vértice está en $x_v = \frac{-2}{-2} = 1$. El punto es $(1, 2)$. - En $x = -1$, tiende al valor $g(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2$. La función es continua en $x = -1$ y $x = 1$ ya que los límites laterales coinciden con el valor de la función. ✅ **Esbozo de la gráfica:**

**(b) [1’5 puntos] Calcula $\int_{0}^{2} g(x) dx$.** Como el intervalo de integración es $[0, 2]$ y la función cambia de definición en $x = 1$, debemos dividir la integral en dos partes usando la propiedad de aditividad respecto al intervalo: $$\int_{0}^{2} g(x) dx = \int_{0}^{1} g(x) dx + \int_{1}^{2} g(x) dx$$ Sustituyendo cada rama correspondiente: - En $[0, 1]$, usamos $g(x) = -x^2 + 2x + 1$. - En $[1, 2]$, usamos $g(x) = x^2 + 2x - 1$. $$\int_{0}^{2} g(x) dx = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) dx + \int_{1}^{2} (x^2 + 2x - 1) dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que la función cambie su expresión analítica dentro de los límites de integración, es obligatorio separar la integral en la suma de las integrales de cada trozo.

Calculamos cada integral de forma independiente: **Primera integral:** $$\int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en los límites: $$= \left( -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right) - (0) = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$$ **Segunda integral:** $$\int_{1}^{2} (x^2 + 2x - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 - x \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$= \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 - 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 - 1 \right) = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{14}{3} - \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Sumamos los resultados obtenidos en el paso anterior para hallar el valor total de la integral: $$\int_{0}^{2} g(x) dx = \frac{5}{3} + \frac{13}{3} = \frac{18}{3} = 6$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{0}^{2} g(x) dx = 6}$$