Derivabilidad de una función a trozos y rectas tangente y normal

**(a) [1’5 puntos] Halla $a$ y $b$ sabiendo que $f$ es derivable en $\mathbb{R}$.** Para que la función $f(x)$ sea derivable en $\mathbb{R}$, primero debe ser **continua** en todo su dominio. Al ser una función definida a trozos mediante polinomios, el único punto donde podrían existir problemas es en el salto entre ramas, en $x = 2$. Las condiciones que debemos imponer son: 1. Que $f(x)$ sea continua en $x = 2$. 2. Que $f(x)$ sea derivable en $x = 2$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Por eso, siempre empezamos comprobando la continuidad.

Para que $f$ sea continua en $x = 2$, se debe cumplir que los límites laterales coincidan con el valor de la función: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$$ Calculamos los límites laterales: - Por la izquierda ($x \le 2$): $$\lim_{x \to 2^-} (ax^2 + 3x) = a(2)^2 + 3(2) = 4a + 6$$ - Por la derecha ($x \gt 2$): $$\lim_{x \to 2^+} (x^2 - bx - 4) = (2)^2 - b(2) - 4 = 4 - 2b - 4 = -2b$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$4a + 6 = -2b \implies 4a + 2b = -6$$ Simplificando entre 2, obtenemos nuestra primera ecuación: $$\boxed{2a + b = -3} \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Calculamos primero la derivada de la función en las ramas abiertas ($x \neq 2$): $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + 3 & \text{si } x \lt 2 \\ 2x - b & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ Para que $f$ sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben ser iguales: $$f'(2^-) = f'(2^+)$$ - Derivada por la izquierda: $$f'(2^-) = 2a(2) + 3 = 4a + 3$$ - Derivada por la derecha: $$f'(2^+) = 2(2) - b = 4 - b$$ Igualamos las derivadas laterales: $$4a + 3 = 4 - b \implies 4a + b = 1$$ Obtenemos nuestra segunda ecuación: $$\boxed{4a + b = 1} \quad \text{(Ecuación 2)}$$

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} 2a + b = -3 \\ 4a + b = 1 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $b$: $$(4a + b) - (2a + b) = 1 - (-3)$$ $$2a = 4 \implies a = 2$$ Sustituimos $a = 2$ en la primera ecuación: $$2(2) + b = -3 \implies 4 + b = -3 \implies b = -7$$ ✅ **Resultado del apartado (a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = -7}$$

**(b) [1 punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 3$.** Como $x = 3 \gt 2$, utilizamos la segunda rama de la función con el valor de $b = -7$ hallado anteriormente: $$f(x) = x^2 - (-7)x - 4 = x^2 + 7x - 4$$ Necesitamos el punto de tangencia $(3, f(3))$ y la pendiente $m_t = f'(3)$: - **Punto:** $f(3) = 3^2 + 7(3) - 4 = 9 + 21 - 4 = 26$. El punto es **$(3, 26)$**. - **Pendiente:** $f'(x) = 2x + 7 \implies f'(3) = 2(3) + 7 = 13$. 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Aplicamos la fórmula de la recta punto-pendiente en $x = 3$: $$y - 26 = 13(x - 3)$$ $$y - 26 = 13x - 39$$ $$y = 13x - 13$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = 13x - 13}$$

La pendiente de la recta normal ($m_n$) es la perpendicular a la de la tangente, es decir, $m_n = -\frac{1}{m_t}$: $$m_n = -\frac{1}{13}$$ Usamos el mismo punto $(3, 26)$: $$y - 26 = -\frac{1}{13}(x - 3)$$ $$y = -\frac{1}{13}x + \frac{3}{13} + 26$$ $$y = -\frac{1}{13}x + \frac{3 + 338}{13}$$ $$y = -\frac{1}{13}x + \frac{341}{13}$$ 💡 **Tip:** La recta normal es perpendicular a la tangente en el punto de contacto, por lo que el producto de sus pendientes debe ser $-1$. ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{y = -\frac{1}{13}x + \frac{341}{13}}$$