Posición relativa de recta y plano con parámetros

**(a) [1 punto] ¿Existe algún valor de $m$ para el que $\pi$ y $r$ son paralelos?** Para estudiar la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$, analizamos el sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano. El sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es: $$\begin{cases} 2x + y - mz = 2 \\ x - y - z = -m \\ x + my - z = 1 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -m \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & m & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -m & 2 \\ 1 & -1 & -1 & -m \\ 1 & m & -1 & 1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius: - Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$, la recta y el plano se cortan en un punto (**secantes**). - Si $\text{rang}(A) = 2$ y $\text{rang}(A^*) = 3$, la recta y el plano son **paralelos**. - Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2$, la recta está **contenida** en el plano.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus para hallar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -m \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & m & -1 \end{vmatrix} = [2(-1)(-1) + 1(-1)(1) + (-m)(1)(m)] - [(-m)(-1)(1) + 2(-1)(m) + 1(1)(-1)]$$ Desarrollamos las operaciones: $$|A| = [2 - 1 - m^2] - [m - 2m - 1] = 1 - m^2 - (-m - 1) = 1 - m^2 + m + 1 = -m^2 + m + 2$$ Igualamos a cero para encontrar cuándo el rango de $A$ es menor que 3: $$-m^2 + m + 2 = 0 \implies m^2 - m - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Los valores críticos son **$m = 2$** y **$m = -1$**.

Estudiamos el sistema para **$m = 2$**: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rang}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora calculamos el determinante de una submatriz de orden 3 de $A^*$ (usando la columna de términos independientes): $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = [(-2) + (-2) + 4] - [(-2) + (-8) + 1] = 0 - (-9) = 9 \neq 0$$ Como $\text{rang}(A) = 2$ y $\text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es incompatible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, existe un valor para el cual son paralelos y es } m = 2}$$

**(b) [1 punto] ¿Para qué valor de $m$ está la recta contenida en el plano?** Estudiamos el sistema para **$m = -1$**: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 son idénticas tanto en $A$ como en $A^*$. Esto implica que el rango de ambas matrices será el mismo. Tomamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como la tercera fila de $A^*$ es igual a la segunda, cualquier determinante de orden 3 que incluya a ambas será 0, por lo que: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones), lo que significa que todos los puntos de la recta están en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -1}$$

**(c) [0’5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando $m = 0$?** Evaluamos el determinante de $A$ para $m = 0$ usando la expresión obtenida anteriormente: $|A| = -m^2 + m + 2$. $$|A|_{m=0} = -(0)^2 + 0 + 2 = 2$$ Como $|A| = 2 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es 3. Por lo tanto, el rango de la matriz ampliada $A^*$ también es 3. $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$$ El sistema es compatible determinado, lo que significa que tiene una única solución. Geométricamente, esto corresponde a que la recta y el plano se cortan en un único punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta y el plano son secantes (se cortan en un punto)}}$$