Ecuación matricial con transposición e inversión

Para resolver la ecuación matricial $AP - B = C^T$, debemos aislar la matriz $P$ siguiendo las reglas del álgebra matricial. 1. Sumamos la matriz $B$ en ambos miembros: $$AP = C^T + B$$ 2. Para despejar $P$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$A^{-1} (AP) = A^{-1} (C^T + B)$$ $$(A^{-1} A) P = A^{-1} (C^T + B)$$ $$I \cdot P = A^{-1} (C^T + B)$$ $$P = A^{-1} (C^T + B)$$ Donde $I$ es la matriz identidad. 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Como la matriz $A$ multiplica a $P$ por la izquierda, su inversa $A^{-1}$ debe aparecer también por la izquierda en el otro miembro de la ecuación.

Primero obtenemos $C^T$ intercambiando las filas por columnas de la matriz $C$: $$C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \implies C^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la suma $D = C^T + B$: $$D = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+1 & 1+0 \\ 0+0 & -1-1 \\ -1+2 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{D = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero. Calculamos $|A|$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 2) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 0 \cdot 2) - (0 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|A| = 2 + 0 + 0 - 1 - 0 - 0 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. 💡 **Tip:** Si un determinante tiene una fila o columna con muchos ceros (como la segunda fila de $A$), también puedes desarrollarlo por los elementos de esa línea para simplificar el cálculo.

Calculamos $A^{-1}$ mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ La traspuesta de la adjunta es: $$(\text{Adj}(A))^T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 1$, entonces: $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $P = A^{-1} \cdot D$: $$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: - $P_{11} = 2(-1) + 0(0) + (-1)(1) = -2 - 1 = -3$ - $P_{12} = 2(1) + 0(-2) + (-1)(2) = 2 - 2 = 0$ - Fila 2: - $P_{21} = 0(-1) + 1(0) + 0(1) = 0$ - $P_{22} = 0(1) + 1(-2) + 0(2) = -2$ - Fila 3: - $P_{31} = (-1)(-1) + (-1)(0) + 1(1) = 1 + 1 = 2$ - $P_{32} = (-1)(1) + (-1)(-2) + 1(2) = -1 + 2 + 2 = 3$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}}$$