Recta tangente y área de un recinto con logaritmo

**(a) [0’75 puntos] Justifica que la recta de ecuación $y = \frac{1}{e}x$ es la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto de abscisa $x = e$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g(x) = \ln x$ en $x = e$, utilizamos la fórmula de la recta tangente: $$y - g(e) = g'(e)(x - e)$$ Calculamos primero el valor de la función en el punto: $$g(e) = \ln e = 1$$ Ahora calculamos la derivada de la función: $$g'(x) = \frac{1}{x} \implies g'(e) = \frac{1}{e}$$ Sustituimos en la fórmula: $$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$$ $$y - 1 = \frac{1}{e}x - \frac{e}{e} \implies y - 1 = \frac{1}{e}x - 1$$ $$y = \frac{1}{e}x$$ 💡 **Recuerda:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada de la función en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{1}{e}x}$$ Se confirma que la recta dada es efectivamente la tangente en $x=e$.

**(b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $g$, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior.** Primero identificamos las funciones que limitan el recinto y sus puntos de corte con el eje de abscisas ($y=0$): 1. **Recta tangente:** $y = \frac{1}{e}x$. Corta al eje $X$ en $\frac{1}{e}x = 0 \implies x = 0$. 2. **Función logaritmo:** $g(x) = \ln x$. Corta al eje $X$ en $\ln x = 0 \implies x = 1$. 3. **Intersección entre ambas:** Ya sabemos por el apartado anterior que se tocan en el punto de tangencia $x = e$. El recinto está limitado por arriba por la recta $y = \frac{1}{e}x$ en el intervalo $[0, e]$, pero por abajo está limitado por el eje $X$ desde $x=0$ hasta $x=1$, y por la curva $y = \ln x$ desde $x=1$ hasta $x=e$. El área se puede calcular como el área del triángulo formado bajo la recta menos el área bajo la curva logaritmo: $$A = \int_{0}^{e} \frac{1}{e}x \, dx - \int_{1}^{e} \ln x \, dx$$ 💡 **Tip:** Es muy útil esbozar la gráfica para visualizar qué función queda por encima de la otra y dónde cambian los límites de integración.

Calculamos cada integral por separado: 1. **Integral de la recta:** $$\int_{0}^{e} \frac{1}{e}x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2e} \right]_{0}^{e} = \frac{e^2}{2e} - 0 = \frac{e}{2}$$ 2. **Integral de la función logaritmo:** Para $\int \ln x \, dx$, usamos integración por partes con $u = \ln x$ y $dv = dx$, de donde $du = \frac{1}{x} dx$ y $v = x$: $$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x$$ Aplicamos la regla de Barrow entre 1 y $e$: $$\int_{1}^{e} \ln x \, dx = [x \ln x - x]_{1}^{e} = (e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$ 💡 **Recuerda la Regla de Barrow:** $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Restamos los resultados obtenidos para hallar el área total del recinto: $$A = \frac{e}{2} - 1$$ Podemos expresar el resultado en unidades cuadradas: $$A = \frac{e - 2}{2} \approx 0.359 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \left(\frac{e}{2} - 1\right) \text{ u}^2}$$