Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para resolver este ejercicio, primero planteamos la función y sus derivadas sucesivas, ya que las condiciones del problema involucran máximos (primera derivada) y puntos de inflexión (segunda derivada). Sea la función polinómica: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ Calculamos su primera y segunda derivada: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ Utilizamos la información del **punto de inflexión $(0, 1)$**. Esto nos da dos ecuaciones: 1. El punto $(0, 1)$ pertenece a la gráfica: $f(0) = 1$. 2. En $x=0$ hay un punto de inflexión: $f''(0) = 0$. Sustituimos en la función original: $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 1 \implies \mathbf{d = 1}$$ Sustituimos en la segunda derivada: $$f''(0) = 6a(0) + 2b = 0 \implies 2b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión $(x_0, y_0)$ implica que $f(x_0) = y_0$ y, si la función es derivable dos veces, $f''(x_0) = 0$.

Se nos indica que $f$ tiene un **máximo local en $x = 1$**. Esto implica que la primera derivada en ese punto es cero ($f'(1) = 0$). Utilizando la expresión de la derivada $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ y sabiendo que $b = 0$: $$f'(1) = 3a(1)^2 + 2(0)(1) + c = 0$$ $$3a + c = 0 \implies \mathbf{c = -3a}$$ Ahora la función queda definida en términos de una sola variable $a$: $$f(x) = ax^3 + 0x^2 - 3ax + 1 = ax^3 - 3ax + 1$$ 💡 **Tip:** Si una función tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto donde es derivable, su primera derivada debe anularse en dicho punto ($f'(x_0) = 0$).

La última condición nos dice que $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{9}{4}$. Sustituimos la expresión de $f(x)$ hallada anteriormente: $$\int_{0}^{1} (ax^3 - 3ax + 1) dx = \frac{9}{4}$$ Calculamos la integral aplicando la regla de Barrow: $$\left[ a\frac{x^4}{4} - 3a\frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \frac{9}{4}$$ Evaluamos en los límites: $$\left( \frac{a}{4} - \frac{3a}{2} + 1 \right) - (0) = \frac{9}{4}$$ Resolvemos la ecuación para $a$: $$\frac{a - 6a}{4} + 1 = \frac{9}{4}$$ $$\frac{-5a}{4} = \frac{9}{4} - 1$$ $$\frac{-5a}{4} = \frac{5}{4}$$ $$-5a = 5 \implies \mathbf{a = -1}$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Una vez obtenido $a = -1$, calculamos el resto de parámetros: - $b = 0$ - $d = 1$ - $c = -3a = -3(-1) = 3$ Por tanto, la función es: $$\mathbf{f(x) = -x^3 + 3x + 1}$$ **Comprobación de la curvatura en $x=0$:** Como $f''(x) = -6x$, estudiamos el signo de $f''(x)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f''(x) = -6x & + & 0 & - \end{array} $$ Hay un cambio de signo en la segunda derivada (de convexa a cóncava), por lo que $x=0$ es efectivamente un punto de inflexión. **Comprobación del máximo en $x=1$:** $f'(1) = -3(1)^2 + 3 = 0$. $f''(1) = -6(1) = -6 \lt 0$, lo que confirma que se trata de un máximo local. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 0, \quad c = 3, \quad d = 1}$$