Vértices de un paralelogramo, rectas paralelas y planos

**(a) [1 punto] Halla las coordenadas del vértice $D$.** En un paralelogramo $ABCD$ donde los vértices se nombran de forma consecutiva, los vectores formados por los lados opuestos son iguales y paralelos. Por tanto, se debe cumplir la igualdad vectorial: $$\vec{AB} = \vec{DC}$$ Calculamos primero el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - (-2), -1 - 3, 3 - 1) = (4, -4, 2)$$ Si denotamos las coordenadas de $D$ como $(x, y, z)$, el vector $\vec{DC}$ es: $$\vec{DC} = C - D = (0 - x, 1 - y, -2 - z) = (-x, 1 - y, -2 - z)$$ Igualamos componente a componente: 1) $4 = -x \implies x = -4$ 2) $-4 = 1 - y \implies y = 1 + 4 = 5$ 3) $2 = -2 - z \implies z = -2 - 2 = -4$ 💡 **Tip:** También podrías resolverlo sabiendo que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio $M$. Así, $M_{AC} = M_{BD}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D(-4, 5, -4)}$$

Para visualizar la disposición de los vértices y la relación vectorial utilizada:

Para definir una recta $r$ en el espacio necesitamos un punto por el que pase y un vector director. El enunciado indica que la recta pasa por $B(2, -1, 3)$ y es paralela a la diagonal $AC$. Por tanto, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ será el vector $\vec{AC}$: $$\vec{v_r} = \vec{AC} = C - A = (0 - (-2), 1 - 3, -2 - 1) = (2, -2, -3)$$ Utilizamos la ecuación continua de la recta: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo el punto $B(2, -1, 3)$ y el vector $(2, -2, -3)$: $$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - (-1)}{-2} = \frac{z - 3}{-3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos rectas (o una recta y un segmento) son paralelas, comparten el mismo vector director (o uno proporcional). ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 3}{-3}}$$

El plano $\pi$ que contiene al paralelogramo pasa por los puntos $A, B, C$ y $D$. Para hallar su ecuación, necesitamos un punto (por ejemplo, $A(-2, 3, 1)$) y el vector normal $\vec{n}$. El vector normal se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano que no sean paralelos, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = (4, -4, 2)$$ $$\vec{AC} = (2, -2, -3)$$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -4 & 2 \\ 2 & -2 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n} = [(-4)(-3) - (2)(-2)]\vec{i} - [(4)(-3) - (2)(2)]\vec{j} + [(4)(-2) - (-4)(2)]\vec{k}$$ $$\vec{n} = [12 + 4]\vec{i} - [-12 - 4]\vec{j} + [-8 + 8]\vec{k} = 16\vec{i} + 16\vec{j} + 0\vec{k}$$ $$\vec{n} = (16, 16, 0)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 16 para facilitar los cálculos: $\vec{n}' = (1, 1, 0)$.

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Usando $\vec{n}' = (1, 1, 0)$, el plano es de la forma: $$1x + 1y + 0z + D = 0 \implies x + y + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $A(-2, 3, 1)$ en la ecuación: $$-2 + 3 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, la ecuación del plano es $x + y - 1 = 0$. 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar el resultado sustituyendo otro punto del paralelogramo, como $C(0, 1, -2)$: $0 + 1 - 1 = 0$. ¡Es correcto! ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y - 1 = 0}$$