Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**(a) [1’5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 2 & 1 & \lambda \\ 1 & 5 & -\lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \lambda & -1 & 0 \\ 2 & 1 & \lambda & 0 \\ 1 & 5 & -\lambda & \lambda + 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 2 & 1 & \lambda \\ 1 & 5 & -\lambda \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (-\lambda) + \lambda \cdot \lambda \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot 5] - [1 \cdot 1 \cdot (-1) + 5 \cdot \lambda \cdot 1 + (-\lambda) \cdot 2 \cdot \lambda]$$ $$|A| = [-\lambda + \lambda^2 - 10] - [-1 + 5\lambda - 2\lambda^2]$$ $$|A| = -\lambda + \lambda^2 - 10 + 1 - 5\lambda + 2\lambda^2 = 3\lambda^2 - 6\lambda - 9$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que para que el sistema tenga solución única, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$3\lambda^2 - 6\lambda - 9 = 0 \implies \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$\lambda_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad \lambda_2 = \frac{-2}{2} = -1$$ $$\boxed{\lambda = 3, \quad \lambda = -1}$$

Si $\lambda \neq 3$ y $\lambda \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \neq 3, -1: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Sustituimos $\lambda = 3$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3 & 4 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, ya sabemos que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el $\text{rango}(A^*)$ tomando el menor que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 4 \cdot (1 - 6) = -20 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 3: \text{ Sistema Incompatible}}$$

Sustituimos $\lambda = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la columna de términos independientes es nula (sistema homogéneo), por lo que el rango de $A$ y el de $A^*$ siempre coinciden. Buscamos el rango de $A$ mediante un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = -1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado}}$$

**(b) [1 punto] Resuélvelo para $\lambda = -1$.** Para $\lambda = -1$, el sistema es Compatible Indeterminado con un grado de libertad. Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (la tercera, que es combinación lineal de las otras) y pasar una incógnita al otro miembro como parámetro. El sistema reducido es: $$\left. \begin{array}{r} x - y - z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \end{array} \right\}$$ Hacemos $z = \mu$, con $\mu \in \mathbb{R}$: $$\left. \begin{array}{r} x - y = \mu \\ 2x + y = \mu \end{array} \right\}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$: $$(x - y) + (2x + y) = \mu + \mu \implies 3x = 2\mu \implies x = \frac{2}{3}\mu$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$\frac{2}{3}\mu - y = \mu \implies y = \frac{2}{3}\mu - \mu = -\frac{1}{3}\mu$$ 💡 **Tip:** En sistemas con infinitas soluciones, no olvides indicar que el parámetro (en este caso $\mu$) pertenece a los números reales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\mu \\ y = -\frac{1}{3}\mu \\ z = \mu \end{array} \right. \quad \forall \mu \in \mathbb{R}}$$