Área encerrada entre dos funciones irracionales

Para hallar el área del recinto limitado por las dos funciones, primero debemos encontrar los puntos donde sus gráficas se cortan. Para ello, igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies \sqrt{x} = \sqrt[3]{x}$$ Para resolver esta ecuación irracional, elevamos ambos miembros a la sexta potencia (el mínimo común múltiplo de los índices 2 y 3): $$(\sqrt{x})^6 = (\sqrt[3]{x})^6 \implies x^3 = x^2$$ Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación y factorizamos: $$x^3 - x^2 = 0 \implies x^2(x - 1) = 0$$ Las soluciones son: - $x^2 = 0 \implies x = 0$ - $x - 1 = 0 \implies x = 1$ 💡 **Tip:** Al elevar a una potencia par pueden aparecer soluciones ficticias, pero en este caso, ambos valores $x=0$ y $x=1$ pertenecen al dominio $[0, +\infty)$ y cumplen la igualdad original. Los puntos de corte son **$x=0$** y **$x=1$**.

Debemos determinar cuál de las dos funciones queda por encima de la otra en el intervalo $(0, 1)$ para plantear correctamente la integral del área. Tomamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 0,125 = \frac{1}{8}$: - $f\left(\frac{1}{8}\right) = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \approx 0,3536$ - $g\left(\frac{1}{8}\right) = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0,5$ Como $g(1/8) \gt f(1/8)$, en el intervalo $(0, 1)$ se cumple que **$g(x) \ge f(x)$**. 💡 **Tip:** En el intervalo $(0,1)$, cuanto mayor es el índice de la raíz de un número fraccionario, mayor es el resultado. Por tanto, $\sqrt[3]{x} \gt \sqrt{x}$ para $0 \lt x \lt 1$.

El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte hallados: $$A = \int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x} - \sqrt{x}) \, dx$$ Expresamos las raíces como potencias de exponente fraccionario para facilitar la integración: $$A = \int_{0}^{1} (x^{1/3} - x^{1/2}) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al resolver la integral obtuvieras un valor negativo, significaría que el orden de las funciones en la resta era el inverso.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (x^{1/3} - x^{1/2}) \, dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{3}{4}x^{4/3} - \frac{2}{3}x^{3/2}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $1$: $$A = \left[ \frac{3}{4}x^{4/3} - \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1}$$ Sustituimos los límites: $$A = \left( \frac{3}{4}(1)^{4/3} - \frac{2}{3}(1)^{3/2} \right) - \left( \frac{3}{4}(0)^{4/3} - \frac{2}{3}(0)^{3/2} \right)$$ $$A = \left( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \right) - 0 = \frac{9 - 8}{12} = \frac{1}{12}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{1}{12} \text{ unidades}^2}$$ Podemos visualizar el área en el siguiente gráfico interactivo: