Análisis 2008 Andalucia
Cálculo de parámetros y recta tangente compartida
Sean $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ y $g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ las funciones definidas por
$$f(x) = x^2 + ax + b \quad y \quad g(x) = c e^{-(x+1)}$$
Se sabe que las gráficas de $f$ y $g$ se cortan en el punto $(-1, 2)$ y tienen en ese punto la misma recta tangente.
(a) [2 puntos] Calcula los valores de $a, b$ y $c$.
(b) [0’5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente.
Paso 1
Interpretación de las condiciones en el punto de corte
**(a) [2 puntos] Calcula los valores de $a, b$ y $c$.**
El enunciado nos da dos informaciones clave para el punto $x = -1$:
1. Ambas funciones pasan por el punto $(-1, 2)$. Esto significa que $f(-1) = 2$ y $g(-1) = 2$.
2. Tienen la misma recta tangente en dicho punto. Esto implica que sus derivadas coinciden en ese valor de $x$: $f'(-1) = g'(-1)$.
Comenzamos evaluando $g(x)$ en $x = -1$ para hallar el valor de $c$:
$$g(-1) = c \cdot e^{-(-1+1)} = c \cdot e^0 = c \cdot 1 = c.$$
Como sabemos que $g(-1) = 2$, obtenemos directamente:
$$\boxed{c = 2}$$
💡 **Tip:** Recuerda que si una gráfica pasa por un punto $(x_0, y_0)$, se debe cumplir obligatoriamente la condición de paso: $f(x_0) = y_0$.
Paso 2
Cálculo del parámetro $a$ mediante la igualdad de derivadas
Para que tengan la misma recta tangente, sus pendientes (derivadas) deben ser iguales en $x = -1$.
Calculamos la derivada de $f(x) = x^2 + ax + b$:
$$f'(x) = 2x + a \implies f'(-1) = 2(-1) + a = -2 + a.$$
Calculamos la derivada de $g(x) = 2e^{-(x+1)}$ (usando ya $c=2$ y la regla de la cadena):
$$g'(x) = 2 \cdot e^{-(x+1)} \cdot (-1) = -2e^{-(x+1)}.$$
Evaluamos en $x = -1$:
$$g'(-1) = -2e^{-(-1+1)} = -2e^0 = -2.$$
Igualamos ambas derivadas:
$$f'(-1) = g'(-1) \implies -2 + a = -2 \implies a = -2 + 2 = 0.$$
Por tanto:
$$\boxed{a = 0}$$
💡 **Tip:** Si dos funciones son tangentes en un punto, no solo comparten el punto, sino también el valor de su primera derivada en él.
Paso 3
Cálculo del parámetro $b$
Utilizamos la condición de que $f(x)$ pasa por el punto $(-1, 2)$ con el valor de $a = 0$ ya calculado:
$$f(x) = x^2 + 0x + b = x^2 + b.$$
Sustituimos el punto:
$$f(-1) = (-1)^2 + b = 2 \implies 1 + b = 2 \implies b = 1.$$
Por tanto:
$$\boxed{b = 1}$$
En resumen, los valores buscados son:
$$\boxed{a = 0, \quad b = 1, \quad c = 2}$$
Paso 4
Ecuación de la recta tangente
**(b) [0’5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente.**
La ecuación de la recta tangente en un punto $(x_0, y_0)$ viene dada por la fórmula:
$$y - y_0 = m(x - x_0)$$
Donde:
- El punto de tangencia es $(x_0, y_0) = (-1, 2)$.
- La pendiente $m$ es el valor de la derivada en ese punto: $m = f'(-1) = g'(-1) = -2$ (calculado en el paso 2).
Sustituimos los valores:
$$y - 2 = -2(x - (-1))$$
$$y - 2 = -2(x + 1)$$
$$y - 2 = -2x - 2$$
$$y = -2x - 2 + 2 \implies y = -2x.$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{y = -2x}$$
💡 **Tip:** La recta tangente es una aproximación lineal de la función en el entorno de un punto. Al ser compartida por $f$ y $g$, el resultado es el mismo independientemente de cuál uses para calcular la pendiente.