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Problema 7. Una bolsa contiene dos monedas que llamamos $M_1$ y $M_2$. La moneda $M_1$ es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda $M_1$ es de 0.6. La moneda $M_2$ tiene una cara impresa en ambos lados. a) Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces. 1. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras? (3 puntos) 2. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz? (3 puntos) b) Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda $M_1$. Responder a la misma pregunta para la moneda $M_2$. (4 puntos)

Problema B.1. Se dan las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B$, donde $B$ es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la relación $B^2 = -7B + U$. Obtener razonadamente: a) Los números reales $a$ y $b$ tales que $A^2 = aA + bU$. (4 puntos). b) Los números reales $p$ y $q$ tales que $B^{-1} = pB + qU$ (2 puntos), justificando que la matriz $B$ tiene inversa (2 puntos). c) Obtener los valores $x$ e $y$ para los que se verifica que $B^3 = xB + yU$. (2 puntos).

Problema 2. Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a + b & 1 \\ 0 & a - b \end{pmatrix}$: a) Calcular los valores de los parámetros a y b para que se cumpla $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. (4 puntos)$ b) Para los valores a y b obtenidos en el apartado anterior, calcular $A^3$ y $A^4$. (3 puntos)$ c) Calcular $\det(A^{-50})$ cuando $a^2 - b^2 \neq 0$. (3 puntos)

Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria $T$ es $y^2 = 2x + 9$, siendo $-4,5 \leq x \leq 8$ e $y \geq 0$, estando situado el Sol en el punto $(0, 0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La distancia del meteorito al Sol desde un punto $P$ de su trayectoria cuya abscisa es $x$. (3 puntos). b) El punto $P$ de la trayectoria $T$ donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol. (5 puntos). c) Distancia mínima del meteorito al Sol. (2 puntos). Nota. En los tres resultados sólo se dará la expresión algebraica o el valor numérico obtenido, sin mencionar la unidad de medida por no haber sido indicada en el enunciado.

Problema A.3. Se da la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x}{(x+1)^2}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El dominio y las asíntotas de la función $f$. (3 puntos) b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$. (4 puntos) c) La integral $\int \frac{x}{(x+1)^2} dx$. (3 puntos)

Problema 3. Se dan las rectas $r: x - 1 = y - 2 = \frac{z-1}{2}$ y $s: \frac{x-3}{-2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+1}{2}$. Se pide: a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto $P$ de intersección. (5 puntos) b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ y a $s$. (5 puntos)

Problema 2.2. Dados el punto $O = (0, 0, 0)$ y el plano $\pi: x + y + z = 6$, se pide calcular razonadamente: a) La ecuación de la recta $r$ que pasa por $O$ y es perpendicular al plano $\pi$. (1,1 puntos). b) Las coordenadas del punto simétrico de $O$ respecto del plano $\pi$. (1,1 puntos). c) La ecuación del plano que contiene al eje $X$ y a la recta $r$. (1,1 puntos).