Generador de Exámenes

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos) La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las 3/5 partes de sus publicaciones reciben un “Like”. Juana es una usuaria de TikiTak. Se pide: 1.1 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún “Like” si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones? 1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos “Likes” en sus cuatro publicaciones? 1.3 (1 punto) Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un “Like” sea mayor que 0.999. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?

Problema B.1. Se dan las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B$, donde $B$ es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la relación $B^2 = -7B + U$. Obtener razonadamente: a) Los números reales $a$ y $b$ tales que $A^2 = aA + bU$. (4 puntos). b) Los números reales $p$ y $q$ tales que $B^{-1} = pB + qU$ (2 puntos), justificando que la matriz $B$ tiene inversa (2 puntos). c) Obtener los valores $x$ e $y$ para los que se verifica que $B^3 = xB + yU$. (2 puntos).

Problema 1. Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ donde $k$ es un número real. a) ¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ es invertible? (2 puntos) b) Para $k = 0$, si existe, calcular la matriz inversa de $A$. (4 puntos) c) Para $k = 0$, hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $AD = DA$. (4 puntos)

Problema B.3. Se considera el triángulo $T$ de vértices $O = (0, 0)$, $A = (x, y)$ y $B = (0, y)$, siendo $x > 0$, $y > 0$, y tal que la suma de las longitudes de los lados $OA$ y $AB$ es 30 metros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El área del triángulo $T$ en función de $x$. (3 puntos) b) El valor de $x$ para el que dicha área es máxima. (5 puntos) c) El valor de dicha área máxima. (2 puntos)

Dada la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, para cualquier valor real $x \neq 0$, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$, (2 puntos) y los extremos relativos de la función $f$. (1 punto) b) Las asíntotas de la curva $y = f(x)$. (3 puntos) c) El área de la región plana limitada por la curva $y = \frac{x^2+1}{x}$, $1 \leq x \leq e$, el segmento que une los puntos $(1, 0)$ y $(e, 0)$, y las rectas $x = 1$ y $x = e$. (4 puntos)

Problema A.2. Consideramos en el espacio las rectas $r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 3 = 0 \end{cases}$ y $s: x = y + 1 = \frac{z-2}{2}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La ecuación del plano que contiene las rectas $r$ y $s$. (3 puntos) b) La recta que pasa por $P = (0, -1, 2)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$. (4 puntos) c) El valor que deben tener los parámetros reales $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi: x - 2y + az = b$. (3 puntos)

Problema 2.2. Dadas la recta $r$, intersección de los planos $y + z = 0$ y $x - 2y - 1 = 0$, y la recta $s$ de ecuación $\frac{x}{2} = y - 1 = -z + 3$, se pide: a) Obtener, razonadamente, ecuaciones paramétricas de $r$ y $s$. (1,1 puntos). b) Explicar de un modo razonado cuál es la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (1,1 puntos). c) Calcular la distancia entre las rectas $r$ y $s$. (1,1 puntos).