Generador de Exámenes

Problema 7. Una bolsa contiene dos monedas que llamamos $M_1$ y $M_2$. La moneda $M_1$ es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda $M_1$ es de 0.6. La moneda $M_2$ tiene una cara impresa en ambos lados. a) Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces. 1. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras? (3 puntos) 2. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz? (3 puntos) b) Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda $M_1$. Responder a la misma pregunta para la moneda $M_2$. (4 puntos)

Problema B.1. Obtener razonadamente: a) Todas las soluciones $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ de la ecuación $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. (4 puntos). b) El determinante de una matriz cuadrada $B$ de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación $B^2 = B$. (3 puntos). c) El determinante de una matriz cuadrada $A$ que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación: $A^2 - 9 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ sabiendo además que el determinante de $A$ es positivo. (3 puntos).

Problema B.1. Se dan las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ y $C = (-1, 1, 3)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La matriz inversa $A^{-1}$ de la matriz A. (3 puntos). b) La matriz X que es solución de la ecuación $AX = BC$. (4 puntos). c) El determinante de la matriz $2M^3$, siendo M una matriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante vale $\frac{1}{2}$. (3 puntos).

Problema 4.1. Una empresa decide lanzar una campaña de propaganda de uno de sus productos editando un texto que ocupa $18\text{ cm}^2$ en hojas rectangulares impresas a una cara, con márgenes superior e inferior de $2\text{ cm}$ y laterales de $1\text{ cm}$. Se pide calcular, razonadamente, las dimensiones de la hoja para las que el consumo de papel sea mínimo. (3,3 puntos).

Dada la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, para cualquier valor real $x \neq 0$, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$, (2 puntos) y los extremos relativos de la función $f$. (1 punto) b) Las asíntotas de la curva $y = f(x)$. (3 puntos) c) El área de la región plana limitada por la curva $y = \frac{x^2+1}{x}$, $1 \leq x \leq e$, el segmento que une los puntos $(1, 0)$ y $(e, 0)$, y las rectas $x = 1$ y $x = e$. (4 puntos)

Problema 5. Dados el punto $P(1,2,3)$ y el plano $\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0$, se pide: a) Calculad la distancia del punto $P$ al plano $\pi$. (2 puntos) b) Calculad el punto $P'$ que es simétrico del punto $P$ respecto del plano $\pi$. (5 puntos) c) Calculad la ecuación del plano $\pi'$ que pasa por $P'$ y es paralelo a $\pi$. (3 puntos)

Problema 2.2. Dados los puntos $O = (0,0,0)$, $A = (4,4,0)$ y $P = (0,0,12)$, se pide obtener razonadamente: a) La ecuación de la recta que pasa por $A$ y es perpendicular al plano de ecuación $z = 0$. (1 punto). b) La ecuación de un plano que cumpla las dos condiciones siguientes: • Pase por $P$ y por un punto $Q$ de la recta de ecuación $x = y = 4$. • Sea perpendicular a la recta que pasa por $O$ y $Q$. (2,3 puntos por hallar uno de los dos planos solución).