Generador de Exámenes

Problema 7. Tenemos dos monedas distintas $M_1$ y $M_2$. La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_1$ es $x$ y la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_2$ es $y$. a) Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras. (3 puntos) b) Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras. (7 puntos)

Problema 4. Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & m \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 + 1 \end{pmatrix}$, se pide: a) Obtened el rango de la matriz en función del parámetro $m$. (4 puntos) b) Explicad cuándo la matriz $A$ es invertible. (2 puntos) c) Resolved la ecuación $XA = I$ donde $I$ es la matriz identidad en el caso $m=1$. (4 puntos)

Problema B.1. Se tiene el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} (1-\alpha)x + 2y + z = 4 \\ x + y - 2z = -4 \\ x + 4y - (\alpha + 1)z = -2\alpha \end{cases}$ donde $\alpha$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema es incompatible. (3 puntos). b) Los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema es compatible y determinado. (3 puntos). c) Todas las soluciones del sistema cuando $\alpha = 2$. (4 puntos).

Problema 6. Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m. de longitud. a) Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor x que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo. (3 puntos) b) Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima. (7 puntos)

Problema B.3. Se desea construir un campo rectangular con vèrtexs $A, B, C$ y $D$ de manera que: Los vèrtexs $A$ y $B$ sean puntos del arco de la parábola $y = 4 - x^2$, $-2 \le x \le 2$, y el segmento de extremos $A$ y $B$ es horizontal. Los vèrtexs $C$ y $D$ sean puntos del arco de la parábola $y = x^2 - 16$, $-4 \le x \le 4$, y el segmento de extremos $C$ y $D$ es también horizontal. Los puntos $A$ y $C$ deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo $x$. Los puntos $B$ y $D$ deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo $-x$. Se pide obtener razonadamente: a) La expresión $S(x)$ del área del campo rectangular en función del número real positivo $x$. (4 puntos). b) El número real positivo $x$ para el que el área $S(x)$ es máxima. (4 puntos). c) El valor del área máxima. (2 puntos).

Problema A.2. Se pide obtener razonadamente: a) La ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $O = (0,0,0)$, $A = (6,-3,0)$ y $B = (3,0,1)$. (3 puntos). b) La ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P = (8,7,-2)$ y es perpendicular al plano $\pi$. (3 puntos). c) El punto $Q$ del plano $\pi$ cuya distancia al punto $P$ es menor que la distancia de cualquier otro punto del plano $\pi$ al punto $P$. (4 puntos).

Problema 2. Sea la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}$ y los puntos $P = (1, 0, 0)$ y $Q = (2, 1, \alpha)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El valor de $\alpha$ para que la recta que pasa por $P$ y $Q$ sea paralela a $r$. (3 puntos) b) La ecuación del plano que contiene a $P$ y $Q$ y es paralelo a $r$, cuando $\alpha = 1$. (3 puntos) c) La distancia del punto $Q$ al plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$, cuando $\alpha = 1$. (4 puntos)