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EJERCICIO 11. [2,5 puntos] En una cierta región, un río sigue la forma de la función $f(x) = x^3/4 - x^2 + x$ y es cortado por un camino dirigido según el eje $OX$. Se quieren plantar pinos en la porción de terreno comprendida entre el río y el camino. Sabiendo que la unidad de medida de longitud es el kilómetro y que la densidad de plantación es 150 pinos por hectárea, calcula el número de pinos necesarios (recuerda que una hectárea son 10000 $m^2$).

Considera el punto $P(1, 0, -1)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ x - z = 1 \end{cases} a) Determina el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$. (1.5 puntos) b) Calcula el punto de la recta $r$ que dista $\sqrt{6}$ unidades de $P$. (1 punto)

EJERCICIO 5. [2,5 puntos] Dos primos de 32 y 5 años, respectivamente, heredan de sus abuelos una finca delimitada por las funciones $f(x) = x^3 - 3x + 2$ y $g(x) = 9x/4 + 9/2$. La finca tiene dos regiones, la región de la izquierda será para el primo de menor edad, mientras que la región de la derecha será para el primo mayor. Calcula la superficie de finca que corresponde a cada primo, y razona si es proporcional a sus edades.

EJERCICIO 13. El número de moléculas en una placa de ensayo viene dado por la función $f(x) = e^{x^2-2x}$ expresado en miles de moléculas, donde $x \in [0, 5]$ indica el tiempo en horas. a) [1,5 puntos] Realiza un estudio del crecimiento de dicha función. ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima? ¿En qué momento se alcanzan? b) [1 punto] ¿Cuál es la velocidad de crecimiento a las 3 horas? ¿Cuál es la velocidad media de crecimiento en el intervalo [0, 5]?

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023: Coches Motos Aptos 116.383 160.667 No aptos 2.679 3.447 Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección. a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto? b) [1,25 puntos] Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m+2 \\ 0 & 1 & m+1 \\ m & 0 & 5 \end{pmatrix}$. a) Estudia el rango de $A$ según los valores de $m$. (1.5 puntos) b) Para $m = 2$, calcula la inversa de $2020A$. (1 punto)