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EJERCICIO 3. Se administra una medicina a un enfermo y $t$ horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por $c(t) = te^{-t/2}$ miligramos por mililitro. a) [1,5 puntos] Determina el valor máximo de $c(t)$ e indica en qué momento se alcanza dicho valor máximo. b) [1 punto] Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, ¿en algún momento hay riesgo para el paciente?

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) Considera el plano $\pi$, determinado por los puntos $A(-1,0,0)$, $B(0,1,1)$ y $C(2,1,0)$, y la recta $$r\equiv\begin{cases}x-2z-3=0\\y-z-2=0\end{cases}$$ Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $\pi$ es $\sqrt{14}$ unidades.

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}\alpha & \alpha+4 & 0\\ 1 & \alpha & 1\\ 0 & \alpha+4 & \alpha\end{pmatrix}$. a) [1 punto] Indica para qué valores de $\alpha$ la matriz $A$ admite inversa. b) [1,5 puntos] Para $\alpha=1$ determina, si es posible, la matriz inversa de $A$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas $$\begin{cases} kx + 2y = 2 \\ 2x + ky = k \\ x - y = -1 \end{cases}$$ (a) [0’5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro $k$. (b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetro $k$ es determinado y para cuáles indeterminado. (c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso.

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm y desviación típica 0,1 mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre 12,9 mm y 13,15 mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm y desviación típica 0,2 mm. a) [1,25 puntos] En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo? b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

EJERCICIO 3. El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender $x$ miles de unidades de un producto viene dado por la función: $B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36$, donde $x$ está en el intervalo [0, 8]. Se pide: a) [2 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del beneficio y localiza los valores de $x$ en los que se alcanzan máximos y mínimos relativos. Calcula también el valor máximo y mínimo absolutos del beneficio en dicho intervalo. b) [0,5 puntos] Justifica razonadamente qué decisión tomaría la empresa en función de los resultados y por qué en los problemas de optimización en intervalos cerrados es imprescindible comparar los extremos relativos con los valores en los extremos del intervalo.