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EJERCICIO 3. El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender $x$ miles de unidades de un producto viene dado por la función: $B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36$, donde $x$ está en el intervalo [0, 8]. Se pide: a) [2 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del beneficio y localiza los valores de $x$ en los que se alcanzan máximos y mínimos relativos. Calcula también el valor máximo y mínimo absolutos del beneficio en dicho intervalo. b) [0,5 puntos] Justifica razonadamente qué decisión tomaría la empresa en función de los resultados y por qué en los problemas de optimización en intervalos cerrados es imprescindible comparar los extremos relativos con los valores en los extremos del intervalo.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} \lambda + 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (a) [1’25 puntos] Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A^2 + 3A$ no tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Para $\lambda = 0$, halla la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2.

Se sabe que los planos de ecuaciones $x + 2y + bz = 1$, $2x + y + bz = 0$, $3x + 3y - 2z = 1$ se cortan en una recta $r$. (a) [1’25 puntos] Calcula el valor de $b$. (b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de $r$.

Considera los puntos $A(4,0,0)$ y $B(0,2,0)$. Calcula los puntos del plano $OXZ$ que forman un triángulo equilátero con $A$ y $B$.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023: Coches Motos Aptos 116.383 160.667 No aptos 2.679 3.447 Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección. a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto? b) [1,25 puntos] Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

EJERCICIO 6. Sea $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{x \ln(x)}{x^2 + e^x}$. a) [1,25 puntos] Calcula $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Interpreta gráficamente el resultado. b) [1,25 puntos] Calcula $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Interpreta gráficamente el resultado.